Phương pháp đồ thị và sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa. Trong bài viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT mũ và lôgarit.
Phương pháp đồ thị
PP: Vẽ đồ thị của các hàm số trong phương trình cần giải trên cùng một hệ trục tọa độ. Sau đó tìm giao điểm của chúng và biện luận, kết luận nghiệm của phương trình là hoành độ của các giao điểm đó.
Readmore....
Nếu bạn thấy bài viết này hay và có ích với bạn hãy nhấn nhấn "Thank" và chia sẻ bài viết này nhé
Bài viết trước đã nói về phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa. Trong bài viết này, chúng ta nói về phương pháp đồ thị và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT mũ và lôgarit.
Phương pháp đồ thị
PP: Vẽ đồ thị của các hàm số trong phương trình cần giải trên cùng một hệ trục tọa độ. Sau đó tìm giao điểm của chúng và biện luận, kết luận nghiệm của phương trình là hoành độ của các giao điểm đó.
Readmore....
Download : http://www.mediafire.com/?cnqel4d33bfmn31
Password : wWw.kenhdaihoc.com
Nếu bạn thấy bài viết này hay và có ích với bạn hãy nhấn nhấn "Thank" và chia sẻ bài viết này nhé
Ví dụ 1.
Giải phương trình \
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số
và đường thẳng 
trên cùng một hệ trục tọa độ 
. Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ 
. Thử lại ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã cho. Mặt khác, là hàm số nghịch biến, là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
Nhận xét. Việc vẽ đồ thị thực chất là để áng khoảng và dự đoán nghiệm (nếu có) của phương trình. Sau khi dự đoán được nghiệm, ta thử trực tiếp vào phương trình, nếu thỏa mãn thì kết luận ngay (như lời giải trên) – khi đó nhờ đồ thị ta biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải phương trình \
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số
và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ . Thử lại ta thấy giá trị này thoả mãn phương trình đã cho. Mặt khác, là hàm số nghịch biến, là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .Nhận xét. Việc vẽ đồ thị thực chất là để áng khoảng và dự đoán nghiệm (nếu có) của phương trình. Sau khi dự đoán được nghiệm, ta thử trực tiếp vào phương trình, nếu thỏa mãn thì kết luận ngay (như lời giải trên) – khi đó nhờ đồ thị ta biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau bằng đồ thị
Giải các phương trình sau bằng đồ thị
![\[\mbox{a) } \Big (\dfrac{1}{3}\Big )^x=\dfrac{-3}{x}; \qquad \mbox{b) } \log_4x=\dfrac{1}{x}; \qquad \mbox{c) } 16^x=\log_{\frac{1}{2}}x.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0303cde05b4e8d67054867a0c95190d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hướng dẫn. Giải tương tự ví dụ trên.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số lôgarit
PP: Sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit, đó là
1) Hàm số luỹ thừa 
đồng biến trên 
nếu 
, nghịch biến trên nếu 
.
2) Hàm số lôgarit
đồng biến trên 
nếu , nghịch biến trên nếu .
3) Các hàm số mũ
và hàm số luỹ thừa 
đều liên tục trên tập xác định của chúng.
đồng biến trên nếu , nghịch biến trên nếu .2) Hàm số lôgarit
đồng biến trên nếu , nghịch biến trên nếu .3) Các hàm số mũ
và hàm số luỹ thừa đều liên tục trên tập xác định của chúng.Ví dụ 2.
Giải các phương trình
Giải các phương trình
![\[\mbox{a) } 3^x+4^x=5^x; \qquad \qquad \mbox{b) } 2^{x+1}-4^x=x-1.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-688f003050afe51329967ff8926cad89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lời giải a) Chia cả hai vế của phương trình cho 
, ta có
, ta có![\[\Big (\dfrac{3}{5}\Big )^x+\Big (\dfrac{4}{5}\Big )^x=1.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0bdaf5f25467c87a43d986e7db4e284_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Xét 
. Ta có 
.
Do đó
đồng biến trên . Mặt khác 
. Do đó 
là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Phương trình tương đương với
. Ta có .Do đó
đồng biến trên . Mặt khác . Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình.b) Phương trình tương đương với
![\[2^x(2-2^x)=x-1.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f7b82745bccc07867268e5a9e098375_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Với thì phương trình trên đúng, do đó là nghiệm của phương trình.
thì phương trình trên đúng, do đó là nghiệm của phương trình.Nếu 
thì 
và 
, do đó 
. Phương trình đã cho vô nghiệm.
thì và , do đó . Phương trình đã cho vô nghiệm.Nếu 
thì 
và 
, do đó 
. Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
thì và , do đó . Phương trình đã cho vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
.Ví dụ 3.
Giải các phương trình
Giải các phương trình
![\[\mbox{a) } \lg (x-4)=5-x; \qquad\qquad \mbox{ b) } \log_{\frac{1}{2}}(x+2)=2x-1.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31b529f6768768b1a32f22f32e65fd4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lời giải. a) Điều kiện 
.
Đặt
, phương trình đã cho trở thành
.Đặt
, phương trình đã cho trở thành![\[f(x)=g(x).\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a78d8debbdf4b4760a985cdfd94a2c58_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ta có đồng biến trên 
và 
nghịch biến trên .
Hơn nữa
, đo đó 
là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) Tương tự. ĐS
.
đồng biến trên và nghịch biến trên .Hơn nữa
, đo đó là nghiệm duy nhất của phương trình.b) Tương tự. ĐS
.Bài tập tương tự
Bài 1.
Giải các phương trình sau
Bài 1.
Giải các phương trình sau
a) 
;
b)
;
c)
;
d)
.
;b)
;c)
;d)
.ĐS a) ; b) ; c) 
; d) 
.
; b) ; c) ; d) .Bài 2.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Dễ thấy
là nghiệm của phương trình. Nếu 
thì
Giải phương trình
Hướng dẫn. Dễ thấy
là nghiệm của phương trình. Nếu thì![\[x^x>(\sqrt{2})^x>(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e7c7fb2066d47583b5becafbcdfecd1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Tương tự khi 
. Vậy là nghiệm duy nhất.
. Vậy là nghiệm duy nhất.Bài 3.
Giải phương trình
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình về dạng
Giải phương trình
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình về dạng
![\[\dfrac{\bigg (\dfrac{5}{4}\bigg )^x+1}{\bigg (\dfrac{1}{4}\bigg )^x+\bigg (\dfrac{2}{4}\bigg )^x+\bigg (\dfrac{3}{4}\bigg )^x}=\dfrac{3}{2}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8dc750e9a62eb307f147696e1f912119_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nhận thấy là nghiệm. Nếu thì 
, và
là nghiệm. Nếu thì , và![\[\bigg (\dfrac{1}{4}\bigg )^x+\bigg (\dfrac{2}{4}\bigg )^x+\bigg (\dfrac{3}{4}\bigg )^x<\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{4}.\]](http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09ce3ec7af82a2295967419cd2b0a6eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Suy ra 
, phương trình vô nghiệm. Tương tự khi . ĐS .
, phương trình vô nghiệm. Tương tự khi . ĐS .Nguồn:mathblog.org
