Aug 5, 2012

Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

6:09 PM  , , ,  No comments

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI 


Nhắc lại:
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm a, b:
\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} (1)
- Cách viết tương đương: a+b \geq 2\sqrt{ab}. (2)
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý a, b, ta có:
- a^2+b^2 \geq 2ab (Vì \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0.
* Một số kết quả thường dùng:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0.
Thật vậy, vì a>0 nên \dfrac{1}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2.
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0.
Thật vậy, vì a.b>0 nên \dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.
————————————
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \dfrac{1}{x-1} nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1 (*)
Vì x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}, ta có:
4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}
Hay 4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4. (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3.
Vậy 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3 (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}
\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2} (do x-1>0)
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng (x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab. (3)
Quay lại bài tập này, với mọi x\in [1; 5] thì x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)
\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3.
——————
BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. 4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}.
2. 1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2
3. Với mọi góc 0^o < \alpha < 90^o, ta có: \tan\alpha + \cot\alpha \geq 2.
4. (3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3].
5. (2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2].
—————
Read More

Doremon chế: Định nghĩa thông minh và xinh đẹp của Nobita

10:05 AM  , ,  No comments
Em xinh đâu bởi nụ cười, em xinh là bởi nhiều người xấu hơn


Read More

Aug 4, 2012

Ôn tập chương II (Đại số 11)

11:07 PM  , ,  No comments
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Đại số và Giải tích 11
I. Kiến thức trọng tâm cần nắm
- Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách vận dụng;
- Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và cách tính số phần tử của các đại lượng đó;
- Khai triển biểu thức theo công thứcNewton; vận dụng để tìm số hạng hoặc hệ số của số hạng theo yêu cầu;
- Khái niệm phép thử, biến cố (các loại: biến cố chắc chắn, biến cố không, biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố độc lập), hợp và giao của các biến cố; xác suất (cố điển).
II. Bài tập
A. Quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được mấy số tự nhiên có năm chữ số:
a) các chữ số tùy ý;
b) các chữ số khác nhau;
c) các chữ số khác nhau và chữ số hàng trăm là số chẵn;
d) bé hơn 54321 và các chữ số khác nhau.
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  có thể lập được mấy số tự nhiên có năm chữ số:
a) các chữ số tùy ý;
b) các chữ số khác nhau;
c) các chữ số khác nhau và chữ số hàng nghìn là số lẻ;
d) có 3 chữ số giống nhau và các chữ số còn lại khác nhau.
Bài 3: Có hai chuồng thỏ, chuồng I nhốt 4 thỏ cái và 5 thỏ đực, chuồng II nhốt 5 thỏ cái và 3 thỏ đực. Hỏi có mấy cách bắt một lần 4 con thỏ từ một trong hai chuồng đã cho sao cho mỗi lần bắt:
a) các con thỏ tùy ý (không phân biệt dực, cái);
b) chỉ có 2 con thỏ đực;
c) có ít nhất 2 con thỏ đực;
d) số thỏ cái nhiều hơn số thỏ đực.
B. Khai triển biểu thức theo công thức Newton
Bài 4: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:
a) P\left( x \right)={{\left( 2-x \right)}^{11}}
b) Q\left( x \right)={{\left( 2x+\dfrac{1}{2} \right)}^{9}}
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa {{x}^{6}} trong khai triển và rút gọn biểu thức f\left( x \right)={{\left( \sqrt{2}x-3 \right)}^{15}}.
Bài 6: Tính tổng các hệ số của số hạng chứa {{x}^{3}};{{x}^{5}};{{x}^{7}} trong khai triển và rút gọn biểu thức g\left( x \right)={{\left( 3x+1 \right)}^{8}}.
C. Xác suất của biến cố
Bài 7: Xét phép thử: “Gieo ngẫu nhiên 3 đồng xu một lần”. Ký hiệu “S”, “N” để chỉ mặt xuất hiện là mặt có hình và có số (theo thứ tự đó).
a) Xác định không gian mẫu (liệt kê các phần tử);
b) Tính xác suất của các biến cố:
A: “Có 2 lần đồng xu xuất hiện mặt sấp”;
B: “Có ít nhất một lần đồng xu xuất hiện mặt sấp”;
C: “Lần thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp”
D: “Lần thứ ba đồng xu xuất hiện mặt sấp”
c) A, B có phải là biến cố xung khắc không ? Vì sao ?
d) Chứng tỏ C, D là hai biến cố độc lập.
Bài 8: Một hộp có chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một lần 3 viên bi từ hộp”.
a) Tính số phần tử của không gian mẫu;
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “3 viên bi lấy ra cùng màu”;
B: “Trong 3 viên bi lấy ra, có 1 viên bi vàng”;
C: “Trong 3 viên bi lấy ra, có ít nhất 1 viên bi vàng”;
D: “Trong 3 viên bi lấy ra, ít nhất 1 viên bi vàng và 1 viên bi đỏ”.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
(THAM KHẢO)
Câu 1: (3 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được mấy số tự nhiên có 3 chữ số
a) các chữ số khác nhau;
b) là số lẻ và có 2 chữ số giống nhau.
Câu 2: (3 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức f\left( x \right)={{\left( 1+x\sqrt{3} \right)}^{7}}.
Tính tổng các hệ số của số hạng chứa {{x}^{k}} với k\ge 4.
Câu 3: (4 điểm) Một hộp có 3 viên bi: 1 viên bi vàng, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. Xét phép thử: “Gieo ngẫu nhiên một đồng xu sau đó bốc lần lượt hai viên bi từ hộp”.
Ký hiệu “S”, “N” để chỉ mặt xuất hiện là mặt có hình và có số (theo thứ tự đó); Ký hiệu: “đ”, “x”, “v” để chỉ viên bi bốc được lần lượt có màu đỏ, xanh, vàng.
a) Mô tả không gian mẫu (liệt kê các phần tử);
b) Tính xác suất của các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”;
B: “Viên bi bốc trước có màu đỏ”;
C: “Bốc được 2 viên bi màu xanh và đỏ”.
c) Xét xem trong A, B, C hai biến cố nào là biến cố độc lập ?
Read More
Subscribe to: Comments (Atom)